Производная (cos(x)^4)*(6*(x^2)+9)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cos^{4}{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = 6 x^{2} + 9$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $6 x^{2} + 9$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $12 x$

      2. Производная постоянной $9$ равна нулю.

      В результате: $12 x$

   В результате: $12 x \cos^{4}{\left(x \right)} - 4 \cdot \left(6 x^{2} + 9\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $12 \left(x \cos{\left(x \right)} - \left(2 x^{2} + 3\right) \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{3}{\left(x \right)}$

Ответ:

$12 \left(x \cos{\left(x \right)} - \left(2 x^{2} + 3\right) \sin{\left(x \right)}\right) \cos^{3}{\left(x \right)}$