Производная e^x*(-sin(x)+cos(x))+e^x*(cos(x)+sin(x))

1. дифференцируем $\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      $g{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Таким образом, в результате: $- \cos{\left(x \right)}$

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         В результате: $- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ почленно:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         В результате: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      В результате: $\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$

   В результате: $\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + 2 \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$

2. Теперь упростим:

   $2 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$

Ответ:

$2 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$