Производная exp(x)/((x-2)^3)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$ и $g{\left(x \right)} = \left(x - 2\right)^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - 2$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 2\right)$:

      1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $3 \left(x - 2\right)^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(x - 2\right)^{3} e^{x} - 3 \left(x - 2\right)^{2} e^{x}}{\left(x - 2\right)^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\left(x - 5\right) e^{x}}{\left(x - 2\right)^{4}}$

Ответ:

$\frac{\left(x - 5\right) e^{x}}{\left(x - 2\right)^{4}}$