Производная 2^x*e^(x-1)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = e^{x - 1}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $e^{x - 1}$

   В результате: $2^{x} e^{x - 1} \log{\left(2 \right)} + 2^{x} e^{x - 1}$

2. Теперь упростим:

   $2^{x} \left(\log{\left(2 \right)} + 1\right) e^{x - 1}$

Ответ:

$2^{x} \left(\log{\left(2 \right)} + 1\right) e^{x - 1}$