Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Производная:
Производная x^3*log(x)
Производная tan(3*x)^(4)
Производная (x^3)/(2*x+4)
Производная sqrt(1+sin(6*x)^(2))
Идентичные выражения
(два *x^ три + четыре *x^ два + два *x+ один)/(x+ один)^ два
(2 умножить на x в кубе плюс 4 умножить на x в квадрате плюс 2 умножить на x плюс 1) делить на (x плюс 1) в квадрате
(два умножить на x в степени три плюс четыре умножить на x в степени два плюс два умножить на x плюс один) делить на (x плюс один) в степени два
(2*x3+4*x2+2*x+1)/(x+1)2
2*x3+4*x2+2*x+1/x+12
(2*x³+4*x²+2*x+1)/(x+1)²
(2*x в степени 3+4*x в степени 2+2*x+1)/(x+1) в степени 2
(2x^3+4x^2+2x+1)/(x+1)^2
(2x3+4x2+2x+1)/(x+1)2
2x3+4x2+2x+1/x+12
2x^3+4x^2+2x+1/x+1^2
(2*x^3+4*x^2+2*x+1) разделить на (x+1)^2
Похожие выражения
(2*x^3-4*x^2+2*x+1)/(x+1)^2
(2*x^3+4*x^2+2*x-1)/(x+1)^2
(2*x^3+4*x^2-2*x+1)/(x+1)^2
(2*x^3+4*x^2+2*x+1)/(x-1)^2

Производная функции/ (2*x^3+4*x^2+2*x+1)/(x+1)^2

Производная (2x^3+4x^2+2*x+1)/(x+1)^2

Решение

Вы ввели [src]

   3      2          
2*x  + 4*x  + 2*x + 1
---------------------
              2      
       (x + 1)

$$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

  /   3      2          \
d |2*x  + 4*x  + 2*x + 1|
--|---------------------|
dx|              2      |
  \       (x + 1)       /

$$\frac{d}{d x} \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Применим правило производной частного:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1$ и $g{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{2}$ .

Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. дифференцируем $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1$ почленно:
  1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
  2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    Таким образом, в результате: $2$
  3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$
    Таким образом, в результате: $6 x^{2}$
  4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.
    1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$
    Таким образом, в результате: $8 x$
  В результате: $6 x^{2} + 8 x + 2$
Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Заменим $u = x + 1$ .
2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$
3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$ :
  1. дифференцируем $x + 1$ почленно:
    1. Производная постоянной $1$ равна нулю.
    2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$
    В результате: $1$
  В результате последовательности правил:
  
  $2 x + 2$
Теперь применим правило производной деления:

$\frac{\left(x + 1\right)^{2} \cdot \left(6 x^{2} + 8 x + 2\right) - \left(2 x + 2\right) \left(2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$
Теперь упростим:

$\frac{2 x \left(x^{2} + 3 x + 3\right)}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

Ответ:

$\frac{2 x \left(x^{2} + 3 x + 3\right)}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

       2                    /   3      2          \
2 + 6*x  + 8*x   (-2 - 2*x)*\2*x  + 4*x  + 2*x + 1/
-------------- + ----------------------------------
          2                          4             
   (x + 1)                    (x + 1)

$$\frac{6 x^{2} + 8 x + 2}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

  /            /       2      \     /             3      2\\
  |          4*\1 + 3*x  + 4*x/   3*\1 + 2*x + 2*x  + 4*x /|
2*|4 + 6*x - ------------------ + -------------------------|
  |                1 + x                          2        |
  \                                        (1 + x)         /
------------------------------------------------------------
                                 2                          
                          (1 + x)

$$\frac{2 \cdot \left(6 x + 4 - \frac{4 \cdot \left(3 x^{2} + 4 x + 1\right)}{x + 1} + \frac{3 \cdot \left(2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Третья производная [src]

   /                    /             3      2\     /       2      \\
   |    2*(2 + 3*x)   2*\1 + 2*x + 2*x  + 4*x /   3*\1 + 3*x  + 4*x/|
12*|1 - ----------- - ------------------------- + ------------------|
   |       1 + x                      3                       2     |
   \                           (1 + x)                 (1 + x)      /
---------------------------------------------------------------------
                                      2                              
                               (1 + x)

$$\frac{12 \cdot \left(1 - \frac{2 \cdot \left(3 x + 2\right)}{x + 1} + \frac{3 \cdot \left(3 x^{2} + 4 x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 \cdot \left(2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Упростить

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (2x^3+4x^2+2*x+1)/(x+1)^2

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Производная (2*x^3+4*x^2+2*x+1)/(x+1)^2

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Производная (2x^3+4x^2+2*x+1)/(x+1)^2