Производная 2*cos(x)/x^2+4

1. дифференцируем $4 + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 x \cos{\left(x \right)}}{x^{4}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{2 \left(- x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 x \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{4}}$

   2. Производная постоянной $4$ равна нулю.

   В результате: $\frac{2 \left(- x^{2} \sin{\left(x \right)} - 2 x \cos{\left(x \right)}\right)}{x^{4}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}}{x^{3}}$

Ответ:

$- \frac{2 x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}}{x^{3}}$