Производная (4*sqrt(x)+3)*(1-1/(x^2))

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(4 \sqrt{x} + 3\right) \left(x^{2} - 1\right)$ и $g{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2} - 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      $g{\left(x \right)} = 4 \sqrt{x} + 3$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $4 \sqrt{x} + 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Таким образом, в результате: $\frac{2}{\sqrt{x}}$

         В результате: $\frac{2}{\sqrt{x}}$

      В результате: $2 x \left(4 \sqrt{x} + 3\right) + \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} \cdot \left(2 x \left(4 \sqrt{x} + 3\right) + \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{\sqrt{x}}\right) - 2 x \left(4 \sqrt{x} + 3\right) \left(x^{2} - 1\right)}{x^{4}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{6}{x^{3}} + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$

Ответ:

$\frac{6}{x^{3}} + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{6}{x^{\frac{5}{2}}}$