Господин Экзамен
Разложить многочлен на множители z^2+4*z+5
Решение
Разложение на множители
[src]
1*(x + 2 + I)*(x + 2 - I)
$$\left(x + \left(2 - i\right)\right) 1 \left(x + \left(2 + i\right)\right)$$
(1*(x + (2 + i)))*(x + (2 - i))
Выделение полного квадрата
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$z^{2} + 4 z + 5$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a_{0} z^{2} + b_{0} z + c_{0} = a_{0} \left(m_{0} + z\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 1$$
$$b_{0} = 4$$
$$c_{0} = 5$$
Тогда
$$m_{0} = 2$$
$$n_{0} = 1$$
Итак,
$$\left(z + 2\right)^{2} + 1$$
$$z^{2} + 4 z + 5$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a_{0} z^{2} + b_{0} z + c_{0} = a_{0} \left(m_{0} + z\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 1$$
$$b_{0} = 4$$
$$c_{0} = 5$$
Тогда
$$m_{0} = 2$$
$$n_{0} = 1$$
Итак,
$$\left(z + 2\right)^{2} + 1$$