Господин Экзамен
Разложить многочлен на множители 4*x^4+12*x^2+9
Решение
Разложение на множители
[src]
/ ___\ / ___\ | I*\/ 6 | | I*\/ 6 | 1*|x + -------|*|x - -------| \ 2 / \ 2 /
$$\left(x - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) 1 \left(x + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$
(1*(x + i*sqrt(6)/2))*(x - i*sqrt(6)/2)
Выделение полного квадрата
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена
$$4 x^{4} + 12 x^{2} + 9$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a_{0} x^{4} + b_{0} x^{2} + c_{0} = a_{0} \left(x^{2} + m_{0}\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 4$$
$$b_{0} = 12$$
$$c_{0} = 9$$
Тогда
$$m_{0} = \frac{3}{2}$$
$$n_{0} = 0$$
Итак,
$$4 \left(x^{2} + \frac{3}{2}\right)^{2}$$
$$4 x^{4} + 12 x^{2} + 9$$
Для этого воспользуемся формулой
$$a_{0} x^{4} + b_{0} x^{2} + c_{0} = a_{0} \left(x^{2} + m_{0}\right)^{2} + n_{0}$$
где
$$m_{0} = \frac{b_{0}}{2 a_{0}}$$
$$n_{0} = \frac{4 a_{0} c_{0} - b_{0}^{2}}{4 a_{0}}$$
В нашем случае
$$a_{0} = 4$$
$$b_{0} = 12$$
$$c_{0} = 9$$
Тогда
$$m_{0} = \frac{3}{2}$$
$$n_{0} = 0$$
Итак,
$$4 \left(x^{2} + \frac{3}{2}\right)^{2}$$