Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (x-acot(x))/x
-
Предел (-16+x^2)/(4+x)
-
Предел n^(-2)
-
Предел x^2/(1+x)
-
Идентичные выражения
- x^ два /(один +x)
- x в квадрате делить на (1 плюс x)
- x в степени два делить на (один плюс x)
- x2/(1+x)
- x2/1+x
- x²/(1+x)
- x в степени 2/(1+x)
- x^2/1+x
- x^2 разделить на (1+x)
-
Похожие выражения
- (-2+x)^2/(1+x)
- (2+x^2)/(1+x)
- (3+x+x^2)/(1+x)
- (1-x^2)/(1+x)
- x^2/(1-x)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^2/(1 + x)
- x^2/1 + x
- x*2/(1 + x)
- x*2/1 + x
- x^2/(1 + x)
- x^2/1 + x
- x^2/1 + x
Вы ввели:
x^2/(1+x)
Что Вы имели ввиду?
Предел функции x^2/(1+x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2 \
| x |
lim |-----|
x->oo\1 + x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$
Limit(x^2/(1 + x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{2} + u}$$
=
$$\frac{1}{0 + 0^{2}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{1}{u^{2} + u}$$
=
$$\frac{1}{0 + 0^{2}} = \infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x\right)$$
=
$$\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = 0$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty$$
Подробнее при x→-oo
График