Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел 1+x^2
-
Предел (x+sin(2*x))/x
-
Предел ((3+x)/x)^(5*x)
-
Предел (5+x)/(-4+x^2)
-
Идентичные выражения
- ((три +x)/x)^(пять *x)
- ((3 плюс x) делить на x) в степени (5 умножить на x)
- ((три плюс x) делить на x) в степени (пять умножить на x)
- ((3+x)/x)(5*x)
- 3+x/x5*x
- ((3+x)/x)^(5x)
- ((3+x)/x)(5x)
- 3+x/x5x
- 3+x/x^5x
- ((3+x) разделить на x)^(5*x)
-
Похожие выражения
- ((3-x)/x)^(5*x)
Предел функции ((3+x)/x)^(5*x)
Решение
Вы ввели
[src]
5*x
/3 + x\
lim |-----|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
Limit(((3 + x)/x)^(5*x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{5 x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x}{3}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{5 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15} = e^{15}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = e^{15}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
преобразуем
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x} + \frac{3}{x}\right)^{5 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{5 x}$$
=
сделаем замену
$$u = \frac{x}{3}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{5 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{15 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{15} = e^{15}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = e^{15}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = e^{15}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1024$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1024$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = e^{15}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1024$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = 1024$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x}\right)^{5 x} = e^{15}$$
Подробнее при x→-oo
График