Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (5+x)/(-6+3*x)
-
Предел (1+3*x)^(x/2)
-
Предел ((3+x)/(5+x))^(4+x)
-
Предел (1+2*x)^(x/3)
-
Идентичные выражения
- (пять +x)/(- шесть + три *x)
- (5 плюс x) делить на ( минус 6 плюс 3 умножить на x)
- (пять плюс x) делить на ( минус шесть плюс три умножить на x)
- (5+x)/(-6+3x)
- 5+x/-6+3x
- (5+x) разделить на (-6+3*x)
-
Похожие выражения
- (5+x)/(-6-3*x)
- (5+x)/(6+3*x)
- (5-x)/(-6+3*x)
Предел функции (5+x)/(-6+3*x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 5 + x \ lim |--------| x->oo\-6 + 3*x/
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$
Limit((5 + x)/(-6 + 3*x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{6}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{6}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u + 1}{- 6 u + 3}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0 + 1}{\left(-6\right) 0 + 3} = \frac{1}{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{6}{x}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{6}{x}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 u + 1}{- 6 u + 3}\right)$$
=
$$\frac{5 \cdot 0 + 1}{\left(-6\right) 0 + 3} = \frac{1}{3}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = \frac{1}{3}$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 5\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - 6\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 \left(x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 5\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x - 6\right) = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 \left(x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x + 5\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x - 6\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = \frac{1}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = - \frac{5}{6}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = - \frac{5}{6}$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = - \frac{5}{6}$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = - \frac{5}{6}$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 5}{3 x - 6}\right) = \frac{1}{3}$$
Подробнее при x→-oo
График