Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел x*e^(-1/x)
-
Предел x/tan(7*x)
-
Предел (1+1/(2*x))^x
-
Предел 3-14*x
-
Идентичные выражения
- (один + один /(два *x))^x
- (1 плюс 1 делить на (2 умножить на x)) в степени x
- (один плюс один делить на (два умножить на x)) в степени x
- (1+1/(2*x))x
- 1+1/2*xx
- (1+1/(2x))^x
- (1+1/(2x))x
- 1+1/2xx
- 1+1/2x^x
- (1+1 разделить на (2*x))^x
-
Похожие выражения
- (1-1/(2*x))^x
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 1)/((2*x)))^x
- ((1 + 1)*x/2)^x
- (1 + 1/(2*x))^x
- (1 + x/2)^x
- (1 + x/2)^x
Вы ввели:
(1+1/(2*x))^x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+1/(2*x))^x
Решение
Вы ввели
[src]
x
/ 1 \
lim |1 + 1*---|
x->oo\ 2*x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x}$$
Limit((1 + 1/(2*x))^x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{\frac{1}{2}} x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{1}{\frac{1}{2}} x$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2 x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\frac{u}{2}}$$
=
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\sqrt{\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)} = e^{\frac{1}{2}}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = \frac{3}{2}$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{2 x}\right)^{x} = e^{\frac{1}{2}}$$
Подробнее при x→-oo
График