Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (1/4)^x
-
Предел (x-log(x))/x
-
Предел (x+1/x)/x
-
Предел (1+1/(2*x))^x
-
Идентичные выражения
- (x+ один /x)/x
- (x плюс 1 делить на x) делить на x
- (x плюс один делить на x) делить на x
- x+1/x/x
- (x+1 разделить на x) разделить на x
-
Похожие выражения
- (x-1/x)/x
-
Что Вы имели ввиду?
- (x + 1)/(x*x)
- (x + 1/x)/x
- (x + 1/x)/x
Вы ввели:
(x+1/x)/x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (x+1/x)/x
Решение
Вы ввели
[src]
/ 1\
|x + 1*-|
| x|
lim |-------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)$$
Limit((x + 1/x)/x, x, oo, dir='-')
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \infty$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 1$$
Подробнее при x→-oo
График