Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел x*log(x^2)
-
Предел log(x)/(1+x^2)
-
Предел x^2/(x^2-x)
-
Предел (1+n)^2/n^2
-
Идентичные выражения
- (один +n)^ два /n^ два
- (1 плюс n) в квадрате делить на n в квадрате
- (один плюс n) в степени два делить на n в степени два
- (1+n)2/n2
- 1+n2/n2
- (1+n)²/n²
- (1+n) в степени 2/n в степени 2
- 1+n^2/n^2
- (1+n)^2 разделить на n^2
-
Похожие выражения
- (1-n)^2/n^2
- (-1+n^2)/n^2
-
Что Вы имели ввиду?
- (1 + n)^2/(n^2)
- (1 + n)^((2/n)^2)
- (1 + n)^((2/n)^2)
Вы ввели:
(1+n)^2/n^2
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+n)^2/n^2
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2\
|(1 + n) |
lim |--------|
n->oo| 2 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Limit((1 + n)^2/(n^2), n, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + 2 u + 1\right)$$
=
$$0^{2} + 2 \cdot 0 + 1 = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на n^2:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{n}$$
тогда
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{1}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(u^{2} + 2 u + 1\right)$$
=
$$0^{2} + 2 \cdot 0 + 1 = 1$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
oo/oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{n \to \infty} \left(n + 1\right)^{2} = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
Преобразуем немного функцию под знаком предела
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)^{2}}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 n + 2}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \left(2 n + 2\right)}{\frac{d}{d n} 2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 2 раз(а)
График
Другие пределы при n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Подробнее при n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 слева
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Подробнее при n→0 справа
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Подробнее при n→1 слева
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 4$$
Подробнее при n→1 справа
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\left(n + 1\right)^{2}}{n^{2}}\right) = 1$$
Подробнее при n→-oo
График