Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
- Предел sin(x*y)/y
- Предел 3+7*x^2
-
Предел (1+10/x)^x
-
Предел x*(1+1/x)^2
-
Идентичные выражения
- (один + десять /x)^x
- (1 плюс 10 делить на x) в степени x
- (один плюс десять делить на x) в степени x
- (1+10/x)x
- 1+10/xx
- 1+10/x^x
- (1+10 разделить на x)^x
-
Похожие выражения
- (1-10/x)^x
-
Что Вы имели ввиду?
- ((1 + 10)/x)^x
- (1 + 10/x)^x
- (1 + 10/x)^x
Вы ввели:
(1+10/x)^x
Что Вы имели ввиду?
Предел функции (1+10/x)^x
Решение
Вы ввели
[src]
x
/ 10\
lim |1 + --|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x}$$
Limit((1 + 10/x)^x, x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{10}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x}$$
преобразуем
сделаем замену
$$u = \frac{x}{10}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
Предел
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = e^{10}$$
Метод Лопиталя
К данной функции нет смысла применять правило Лопиталя, т.к. нет неопределённости вида 0/0 или oo/oo
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 11$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 11$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = e^{10}$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 11$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = 11$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{10}{x}\right)^{x} = e^{10}$$
Подробнее при x→-oo
График