Господин Экзамен
Другие калькуляторы:
-
Как пользоваться?
- Предел функции:
-
Предел (1-cos(x))^x
-
Предел (1+2*x)^(x/3)
-
Предел (-1+x^2)/(1-x)
- Предел tan(x)^3/x^3
-
Идентичные выражения
- (- один +x^ два)/(один -x)
- ( минус 1 плюс x в квадрате ) делить на (1 минус x)
- ( минус один плюс x в степени два) делить на (один минус x)
- (-1+x2)/(1-x)
- -1+x2/1-x
- (-1+x²)/(1-x)
- (-1+x в степени 2)/(1-x)
- -1+x^2/1-x
- (-1+x^2) разделить на (1-x)
-
Похожие выражения
- (1+x^2)/(1-x)
- (-1+x^2)/(1+x)
- (-1-x^2)/(1-x)
Предел функции (-1+x^2)/(1-x)
Решение
Вы ввели
[src]
/ 2\
|-1 + x |
lim |-------|
x->oo\ 1 - x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$
Limit((-1 + x^2)/(1 - x), x, oo, dir='-')
Подробное решение
Возьмём предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u^{2} + 1}{u^{2} - u}\right)$$
=
$$\frac{- 0^{2} + 1}{0^{2} - 0} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$
Разделим числитель и знаменатель на x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right)$$
Сделаем Замену
$$u = \frac{1}{x}$$
тогда
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- u^{2} + 1}{u^{2} - u}\right)$$
=
$$\frac{- 0^{2} + 1}{0^{2} - 0} = -\infty$$
Получаем окончательный ответ:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -\infty$$
Метод Лопиталя
У нас есть неопределённость типа
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 1\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
oo/-oo,
т.к. для числителя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} - 1\right) = \infty$$
и для знаменателя предел
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + 1\right) = -\infty$$
Будем брать производные от числителя и знаминателя до тех пор, пока не избавимся от неопределённости.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(- x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x\right)$$
=
$$-\infty$$
Видно, что мы применили правило Лопиталя (взяли производную от числителя и знаменателя) 1 раз(а)
График
Другие пределы при x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 слева
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -1$$
Подробнее при x→0 справа
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 слева
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = -2$$
Подробнее при x→1 справа
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{- x + 1}\right) = \infty$$
Подробнее при x→-oo
График