Интеграл (y-1)/(y+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{y - 1}{y + 1} = 1 - \frac{2}{y + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dy = y$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{2}{y + 1}\right)\, dy = - 2 \int \frac{1}{y + 1}\, dy$

         1. пусть $u = y + 1$.

            Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(y + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left(y + 1 \right)}$

      Результат есть: $y - 2 \log{\left(y + 1 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{y - 1}{y + 1} = \frac{y}{y + 1} - \frac{1}{y + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{y}{y + 1} = 1 - \frac{1}{y + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dy = y$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{y + 1}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y + 1}\, dy$

            1. пусть $u = y + 1$.

               Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(y + 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(y + 1 \right)}$

         Результат есть: $y - \log{\left(y + 1 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{y + 1}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y + 1}\, dy$

         1. пусть $u = y + 1$.

            Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(y + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left(y + 1 \right)}$

      Результат есть: $y - \log{\left(y + 1 \right)} - \log{\left(y + 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $y - 2 \log{\left(y + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$y - 2 \log{\left(y + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$