Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sin(x)^(2)*dx
Интеграл x^2*sqrt(16-x^2)
Интеграл 1/(sqrt(x^2-1))
Интеграл sin(x)/(x)
Производная:
x^3*log(2*x)
Идентичные выражения
x^ три *log(два *x)
x в кубе умножить на логарифм от (2 умножить на x)
x в степени три умножить на логарифм от (два умножить на x)
x3*log(2*x)
x3*log2*x
x³*log(2*x)
x в степени 3*log(2*x)
x^3log(2x)
x3log(2x)
x3log2x
x^3log2x
x^3*log(2*x)dx

Интеграл x^3log(2x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1               
  /               
 |                
 |   3            
 |  x *log(2*x) dx
 |                
/                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{3} \log{\left(2 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x^{3} \log{\left(2 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + x^{3} \log{\left(2 \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{4 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{4 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 e^{4 u} du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{1}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{\int 1\, du}{4}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{4 u}}{16}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int x^{3} \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{4}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}$
  1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
    
    $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{x^{4}}{16}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $x^{3} \log{\left(2 x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} + x^{3} \log{\left(2 \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{4 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}$
      
      пусть $u = 4 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 4 du$ и подставим $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{4 u}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{4 u}}{16}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int x^{3} \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x^{3}\, dx$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{4}$
  Результат есть: $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + \frac{x^{4} \log{\left(2 \right)}}{4}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{4} \cdot \left(4 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{16}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{4} \cdot \left(4 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{4} \cdot \left(4 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                               
 |                       4    4           4       
 |  3                   x    x *log(2)   x *log(x)
 | x *log(2*x) dx = C - -- + --------- + ---------
 |                      16       4           4    
/

$${{x^4\,\log \left(2\,x\right)}\over{4}}-{{x^4}\over{16}}$$

Упростить

Ответ [src]

  1    log(2)
- -- + ------
  16     4

$${{4\,\log 2-1}\over{16}}$$

  1    log(2)
- -- + ------
  16     4

$$- \frac{1}{16} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{4}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.110786795139986

0.110786795139986

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл x^3log(2x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл x^3*log(2*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3

Интеграл x^3log(2x) d{x}