Интеграл x^3*cos(3*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{2 x}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{2}{3}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{9}\right)\, dx = - \frac{2 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{9}$

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{27}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{27}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3} \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{x^{2} \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \frac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{27}+ \mathrm{constant}$