Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл sqrt(x^2+y^2)
Интеграл sqrt(1+x^(2))
Интеграл exp(a*x)*sin(b*x)
Интеграл 10*x^5
Идентичные выражения
x^ шесть *sin(x/ два)
x в степени 6 умножить на синус от (x делить на 2)
x в степени шесть умножить на синус от (x делить на два)
x6*sin(x/2)
x6*sinx/2
x⁶*sin(x/2)
x^6sin(x/2)
x6sin(x/2)
x6sinx/2
x^6sinx/2
x^6*sin(x разделить на 2)
x^6*sin(x/2)dx

Решение интегралов/ x^6*sin(x/2)

Интеграл x^6*sin(x/2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |   6    /x\   
 |  x *sin|-| dx
 |        \2/   
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{6} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = x^{6}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x^{5}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
  
  $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь решаем под-интеграл.
Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = - 12 x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 60 x^{4}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
  
  $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь решаем под-интеграл.
Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = - 120 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 480 x^{3}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
  
  $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь решаем под-интеграл.
Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = 960 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2880 x^{2}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
  
  $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь решаем под-интеграл.
Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = 5760 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 11520 x$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
  
  Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
  
  $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int \left(- 23040 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 23040 \int x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
    
    $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      1. Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
  1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
    
    $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:
        
        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- 4 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Таким образом, результат будет: $- 46080 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 92160 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- 2 x^{6} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x^{5} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 240 x^{4} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1920 x^{3} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 11520 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 46080 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 92160 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 2 x^{6} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 24 x^{5} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 240 x^{4} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1920 x^{3} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 11520 x^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 46080 x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 92160 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                                                                                
 |                                                                                                                                 
 |  6    /x\                   /x\          2    /x\         3    /x\      6    /x\       5    /x\        4    /x\              /x\
 | x *sin|-| dx = C + 92160*cos|-| - 11520*x *cos|-| - 1920*x *sin|-| - 2*x *cos|-| + 24*x *sin|-| + 240*x *cos|-| + 46080*x*sin|-|
 |       \2/                   \2/               \2/              \2/           \2/            \2/             \2/              \2/
 |                                                                                                                                 
/

$$128\,\left(\cos \left({{x}\over{2}}\right)\,\left(-{{x^6}\over{64}} +{{15\,x^4}\over{8}}-90\,x^2+720\right)+\sin \left({{x}\over{2}} \right)\,\left({{3\,x^5}\over{16}}-15\,x^3+360\,x\right)\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

-92160 + 44184*sin(1/2) + 80878*cos(1/2)

$$44184\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)+80878\,\cos \left({{1}\over{ 2}}\right)-92160$$

-92160 + 44184*sin(1/2) + 80878*cos(1/2)

$$-92160 + 44184 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 80878 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.0604382576698981

0.0604382576698981

График

$Интеграл x^6*sin(x/2) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Интеграл x^6*sin(x/2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение