Интеграл x^5*e^(-x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5 x^{4}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Метод #2

      1. пусть $u = e^{- x}$.

         Тогда пусть $du = - e^{- x} dx$ и подставим $- du$:

         $\int 1\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 5 x^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 20 x^{3}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 20 x^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 60 x^{2}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

4. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

5. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = 120 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

   Теперь решаем под-интеграл.

6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \left(- 120 e^{- x}\right)\, dx = - 120 \int e^{- x}\, dx$

   1. пусть $u = - x$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- e^{- x}$

   Таким образом, результат будет: $120 e^{- x}$

7. Теперь упростить:

   $\left(- x^{5} - 5 x^{4} - 20 x^{3} - 60 x^{2} - 120 x - 120\right) e^{- x}$

8. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(- x^{5} - 5 x^{4} - 20 x^{3} - 60 x^{2} - 120 x - 120\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(- x^{5} - 5 x^{4} - 20 x^{3} - 60 x^{2} - 120 x - 120\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$