Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл 2*x*e^(-x)
Интеграл 1/(x*exp(x))
Интеграл x^2*cos(3*x)^3
Интеграл (3*x+4)^4
Идентичные выражения
x^ два *cos(три *x)^ три
x в квадрате умножить на косинус от (3 умножить на x) в кубе
x в степени два умножить на косинус от (три умножить на x) в степени три
x2*cos(3*x)3
x2*cos3*x3
x²*cos(3*x)³
x в степени 2*cos(3*x) в степени 3
x^2cos(3x)^3
x2cos(3x)3
x2cos3x3
x^2cos3x^3
x^2*cos(3*x)^3dx
Похожие выражения
sin(3*x)^(2)*cos(3*x)^(3)

Решение интегралов/ x^2*cos(3*x)^3

Интеграл x^2cos(3x)^3 d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                
  /                
 |                 
 |   2    3        
 |  x *cos (3*x) dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} x^{2} \cos^{3}{\left(3 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(3 x \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\cos^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)}$
2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{9}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{9} + \frac{u}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Метод #2
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)} = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Метод #3
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)} = - \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}\, dx$
      
      пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{9}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
    Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
Теперь решаем под-интеграл.
Используем интегрирование по частям:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

пусть $u{\left(x \right)} = \frac{2 x}{9}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = - \sin^{3}{\left(3 x \right)} + 3 \sin{\left(3 x \right)}$ .

Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{9}$ .

Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
1. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \sin^{3}{\left(3 x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{3}{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\sin^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin{\left(3 x \right)}$
    2. пусть $u = \cos{\left(3 x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - 3 \sin{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)\, du$
      1. Интегрируем почленно:
        
        Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $\frac{u^{3}}{9}$
        
        Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{u}{3}$
        
        Результат есть: $\frac{u^{3}}{9} - \frac{u}{3}$
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 \sin{\left(3 x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{9}\, du$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$
        
        Интеграл от синуса есть минус косинус:
        
        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- \cos{\left(3 x \right)}$
  Результат есть: $- \frac{\cos^{3}{\left(3 x \right)}}{9} - \frac{2 \cos{\left(3 x \right)}}{3}$
Теперь решаем под-интеграл.
Интегрируем почленно:
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{2 \cos^{3}{\left(3 x \right)}}{81}\right)\, dx = - \frac{2 \int \cos^{3}{\left(3 x \right)}\, dx}{81}$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\cos^{3}{\left(3 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cos{\left(3 x \right)}$
  2. пусть $u = \sin{\left(3 x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \left(\frac{1}{3} - \frac{u^{2}}{3}\right)\, du$
    1. Интегрируем почленно:
      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
        
        $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$
      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
        
        $\int \left(- \frac{u^{2}}{3}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{3}$
        
        Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{9}$
      Результат есть: $- \frac{u^{3}}{9} + \frac{u}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}{9} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{729} - \frac{2 \sin{\left(3 x \right)}}{243}$
1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{27}\right)\, dx = - \frac{4 \int \cos{\left(3 x \right)}\, dx}{27}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$
      1. Интеграл от косинуса есть синус:
        
        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $- \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{81}$
Результат есть: $\frac{2 \sin^{3}{\left(3 x \right)}}{729} - \frac{14 \sin{\left(3 x \right)}}{243}$
Теперь упростить:

$\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \sin{\left(9 x \right)}}{36} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{162} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{1458}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \sin{\left(9 x \right)}}{36} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{162} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{1458}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \sin{\left(3 x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \sin{\left(9 x \right)}}{36} + \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{6} + \frac{x \cos{\left(9 x \right)}}{162} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{18} - \frac{\sin{\left(9 x \right)}}{1458}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

                                                                                       /                  3     \
  /                                                                                    |  2*cos(3*x)   cos (3*x)|
 |                                          3           /     3                \   2*x*|- ---------- - ---------|
 |  2    3               14*sin(3*x)   2*sin (3*x)    2 |  sin (3*x)   sin(3*x)|       \      3            9    /
 | x *cos (3*x) dx = C - ----------- + ----------- + x *|- --------- + --------| - ------------------------------
 |                           243           729          \      9          3    /                 9               
/

$${{\left(81\,x^2-2\right)\,\sin \left(9\,x\right)+18\,x\,\cos \left( 9\,x\right)+\left(729\,x^2-162\right)\,\sin \left(3\,x\right)+486\,x \,\cos \left(3\,x\right)}\over{2916}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

      3             3           2                   2          
14*cos (3)   122*sin (3)   4*sin (3)*cos(3)   67*cos (3)*sin(3)
---------- + ----------- + ---------------- + -----------------
    81           729              27                 243

$${{79\,\sin 9+18\,\cos 9+567\,\sin 3+486\,\cos 3}\over{2916}}$$

      3             3           2                   2          
14*cos (3)   122*sin (3)   4*sin (3)*cos(3)   67*cos (3)*sin(3)
---------- + ----------- + ---------------- + -----------------
    81           729              27                 243

$$\frac{14 \cos^{3}{\left(3 \right)}}{81} + \frac{4 \sin^{2}{\left(3 \right)} \cos{\left(3 \right)}}{27} + \frac{122 \sin^{3}{\left(3 \right)}}{729} + \frac{67 \sin{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(3 \right)}}{243}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.132017933181652

-0.132017933181652

График

$Интеграл x^2*cos(3*x)^3 d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл x^2cos(3x)^3 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3