Интеграл (x^2+(x-3)^2) d{x}

1. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = x - 3$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\left(x - 3\right)^{3}}{3}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(x - 3\right)^{2} = x^{2} - 6 x + 9$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- 6 x\right)\, dx = - 6 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- 3 x^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 9 x$

   Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{\left(x - 3\right)^{3}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{x^{3}}{3} + \frac{\left(x - 3\right)^{3}}{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{3}}{3} + \frac{\left(x - 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{\left(x - 3\right)^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$