Интеграл (x^2+3)^5*x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{2} + 3$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{5}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{5}}{2}\, du = \frac{\int u^{5}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{6}}{12}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(x^{2} + 3\right)^{6}}{12}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $x \left(x^{2} + 3\right)^{5} = x^{11} + 15 x^{9} + 90 x^{7} + 270 x^{5} + 405 x^{3} + 243 x$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15 x^{9}\, dx = 15 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x^{10}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 90 x^{7}\, dx = 90 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{45 x^{8}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 270 x^{5}\, dx = 270 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $45 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 405 x^{3}\, dx = 405 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{405 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 243 x\, dx = 243 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{243 x^{2}}{2}$

      Результат есть: $\frac{x^{12}}{12} + \frac{3 x^{10}}{2} + \frac{45 x^{8}}{4} + 45 x^{6} + \frac{405 x^{4}}{4} + \frac{243 x^{2}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x^{2} + 3\right)^{6}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x^{2} + 3\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(x^{2} + 3\right)^{6}}{12}+ \mathrm{constant}$