Интеграл (x^2+7*x+12)*cos(x)*dx d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x^{2} + 7 x + 12\right) \cos{\left(x \right)} 1 = x^{2} \cos{\left(x \right)} + 7 x \cos{\left(x \right)} + 12 \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(x \right)} = 2 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

         Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 7 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 7 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $7 x \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 12 \cos{\left(x \right)}\, dx = 12 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $12 \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $x^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x^{2} + 7 x + 12$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x + 7$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = 2 x + 7$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 \sin{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x^{2} \sin{\left(x \right)} + 7 x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$