Интеграл (x^2+5)/(x-2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 5}{x - 2} = x + 2 + \frac{9}{x - 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{9}{x - 2}\, dx = 9 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $9 \log{\left(x - 2 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 9 \log{\left(x - 2 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 5}{x - 2} = \frac{x^{2}}{x - 2} + \frac{5}{x - 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x - 2} = x + 2 + \frac{4}{x - 2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 2\, dx = 2 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4}{x - 2}\, dx = 4 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x - 2 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $4 \log{\left(x - 2 \right)}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 4 \log{\left(x - 2 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5}{x - 2}\, dx = 5 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x - 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left(x - 2 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 9 \log{\left(x - 2 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 9 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 9 \log{\left(x - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$