Интеграл (x^2+log(x))/x d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int \left(u + e^{2 u}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = 2 u$.

               Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

            Метод #2

            1. пусть $u = e^{2 u}$.

               Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{e^{2 u}}{2}$

         Результат есть: $\frac{u^{2}}{2} + \frac{e^{2 u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + \log{\left(x \right)}}{x} = x + \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

         Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

            1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$