Интеграл (x^2+4)/(x+1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{5}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{5}{x + 1}\, dx = 5 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $5 \log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + 5 \log{\left(x + 1 \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{4}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + \log{\left(x + 1 \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x + 1}\, dx = 4 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $4 \log{\left(x + 1 \right)}$

      Результат есть: $\frac{x^{2}}{2} - x + 4 \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{2} - x + 5 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{2} - x + 5 \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$