Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(x)-3
-
log(x)^2
- 5*x^3-15*x+4
- 4-x/x^2-16
- Интеграл d{x}:
-
(x^2+4)/(x+1)
-
Идентичные выражения
- (x^ два + четыре)/(x+ один)
- (x в квадрате плюс 4) делить на (x плюс 1)
- (x в степени два плюс четыре) делить на (x плюс один)
- (x2+4)/(x+1)
- x2+4/x+1
- (x²+4)/(x+1)
- (x в степени 2+4)/(x+1)
- x^2+4/x+1
- (x^2+4) разделить на (x+1)
-
Похожие выражения
- (-x^2+4)/(x+1)
- (x^2-4)/(x+1)
- (x^2+4)/(x-1)
График функции y = (x^2+4)/(x+1)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x + 4
f(x) = ------
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 4}{x + 1}$$
f = (x^2 + 4)/(x + 1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x^{2} + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5} - 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{5} - 1, -1 + \sqrt{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x^{2} + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \sqrt{5}$$
$$x_{2} = - \sqrt{5} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:
/ 2 \
___ |/ ___\ |
___ \/ 5 *\\-1 + \/ 5 / + 4/
(-1 + \/ 5, -------------------------)
5 / 2\
___ | / ___ \ |
___ -\/ 5 *\4 + \- \/ 5 - 1/ /
(- \/ 5 - 1, ----------------------------)
5 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1 + \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5} - 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{5} - 1, -1 + \sqrt{5}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x + 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x + 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 4)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = \frac{x^{2} + 4}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = - \frac{x^{2} + 4}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = \frac{x^{2} + 4}{- x + 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = - \frac{x^{2} + 4}{- x + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График