Господин Экзамен

Другие калькуляторы

(x^2+4)/(x+1)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (pi-x)/2
  • 1+tan(x) 1+tan(x)
  • sqrt(tan(pi*x)) sqrt(tan(pi*x))
  • sqrt(4*x+8) sqrt(4*x+8)
  • Интеграл d{x}:
  • (x^2+4)/(x+1) (x^2+4)/(x+1)

  • Идентичные выражения

  • (x^ два + четыре)/(x+ один)
  • (x в квадрате плюс 4) делить на (x плюс 1)
  • (x в степени два плюс четыре) делить на (x плюс один)
  • (x2+4)/(x+1)
  • x2+4/x+1
  • (x²+4)/(x+1)
  • (x в степени 2+4)/(x+1)
  • x^2+4/x+1
  • (x^2+4) разделить на (x+1)

  • Похожие выражения

  • (x^2-4)/(x+1)
  • (x^2+4)/(x-1)
  • (-x^2+4)/(x+1)
Построение графика функции/ (x^2+4)/(x+1)

График функции y = (x^2+4)/(x+1)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        2    
       x  + 4
f(x) = ------
       x + 1
f(x)=x2+4x+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 4}{x + 1} 
f = (x^2 + 4)/(x + 1)
График функции
02468-8-6-4-2-1010-200200
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=−1x_{1} = -1
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
x2+4x+1=0\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^2 + 4)/(x + 1).
02+40+1\frac{0^{2} + 4}{0 + 1}
Результат:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Точка:
(0, 4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
2xx+1−x2+4(x+1)2=0\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x^{2} + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
x1=−1+5x_{1} = -1 + \sqrt{5}
x2=−5−1x_{2} = - \sqrt{5} - 1
Зн. экстремумы в точках:
                   /            2    \ 
               ___ |/       ___\     | 
        ___  \/ 5 *\\-1 + \/ 5 /  + 4/ 
(-1 + \/ 5, -------------------------)
                         5             

                     /                 2\  
                 ___ |    /    ___    \ |  
     ___      -\/ 5 *\4 + \- \/ 5  - 1/ /  
(- \/ 5  - 1, ----------------------------)
                           5


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=−1+5x_{1} = -1 + \sqrt{5}
Максимумы функции в точках:
x1=−5−1x_{1} = - \sqrt{5} - 1
Убывает на промежутках
(−∞,−5−1]∪[−1+5,∞)\left(-\infty, - \sqrt{5} - 1\right] \cup \left[-1 + \sqrt{5}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[−5−1,−1+5]\left[- \sqrt{5} - 1, -1 + \sqrt{5}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
2(−2xx+1+1+x2+4(x+1)2)x+1=0\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 4}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=−1x_{1} = -1
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+4x+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x + 1}\right) = -\infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
lim⁡x→∞(x2+4x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x + 1}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + 4)/(x + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+4x(x+1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2+4x(x+1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 4}{x \left(x + 1\right)}\right) = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xy = x
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x2+4x+1=x2+4−x+1\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = \frac{x^{2} + 4}{- x + 1}
- Нет
x2+4x+1=−x2+4−x+1\frac{x^{2} + 4}{x + 1} = - \frac{x^{2} + 4}{- x + 1}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x^2+4)/(x+1)
    © Господин Экзамен – Калькулятор