Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2*x+2*pi
-
6*cos(x)-(27/pi)*x+4
-
x/(x^2-6*x-16)
-
1/(atan(x))
-
Идентичные выражения
- (x^ два)- четыре /x+ один
- (x в квадрате ) минус 4 делить на x плюс 1
- (x в степени два) минус четыре делить на x плюс один
- (x2)-4/x+1
- x2-4/x+1
- (x²)-4/x+1
- (x в степени 2)-4/x+1
- x^2-4/x+1
- (x^2)-4 разделить на x+1
-
Похожие выражения
- (x^2-4)/(x+1)
- (x^2-4)/(x+1)^2
- (x^2)+4/x+1
- (x^2)-4/x-1
График функции y = (x^2)-4/x+1
Решение
Вы ввели
[src]
2 4
f(x) = x - - + 1
x
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + 1 - \frac{4}{x}$$
f = x^2 + 1 - 4/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + 1 - \frac{4}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}} + \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.37879670012955$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} + 1 - \frac{4}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}} + \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.37879670012955$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x + \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 x + \frac{4}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
3 ___ 2/3 (-\/ 2, 1 + 3*2 )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \cdot \left(1 - \frac{4}{x^{3}}\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2^{\frac{2}{3}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 1 - \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1 - \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + 1 - \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + 1 - \frac{4}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2 - 4/x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1 - \frac{4}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1 - \frac{4}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1 - \frac{4}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1 - \frac{4}{x}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} + 1 - \frac{4}{x} = x^{2} + 1 + \frac{4}{x}$$
- Нет
$$x^{2} + 1 - \frac{4}{x} = - x^{2} - 1 - \frac{4}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{2} + 1 - \frac{4}{x} = x^{2} + 1 + \frac{4}{x}$$
- Нет
$$x^{2} + 1 - \frac{4}{x} = - x^{2} - 1 - \frac{4}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График