Интеграл x^2/(8+x^3) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x^{3} + 8$.

      Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{9 u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{3} + 8} = \frac{2 \left(x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - 2 x + 4\right)} + \frac{1}{3 \left(x + 2\right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 \left(x - 1\right)}{3 \left(x^{2} - 2 x + 4\right)}\, dx = \frac{2 \int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx = \frac{\int \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x + 4}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = x^{2} - 2 x + 4$.

               Тогда пусть $du = \left(2 x - 2\right) dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{2 u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{3 \left(x + 2\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 2}\, dx}{3}$

         1. пусть $u = x + 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{3}$

      Результат есть: $\frac{\log{\left(x + 2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\log{\left(x^{3} + 8 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$