Интеграл x*sin(x)^2*dx d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{4}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

         Метод #2

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

               Метод #1

               1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

               Метод #2

               1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                  Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                  $\int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \cos^{2}{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$

   Результат есть: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$