Интеграл x*log(x^2-1) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{2 x dx}{x^{2} - 1}$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u e^{u}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u e^{u}}{2}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{2}$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u e^{u}}{2} - \frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u}{2 u - 2}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u}{2 u - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u - 1}\, du}{2}$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left(u - 1 \right)}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

         Результат есть: $\frac{u}{2} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(x^{2} - 1\right) \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{2} + \frac{1}{2}+ \mathrm{constant}$