Господин Экзамен

Другие калькуляторы

Интеграл x*log(3*x)*dx d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1                
  /                
 |                 
 |  x*log(3*x)*1 dx
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} x \log{\left(3 x \right)} 1\, dx$$
Подробное решение
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть .

          Затем .

          Чтобы найти :

          1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Метод #2

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл есть когда :

        Таким образом, результат будет:

      Результат есть:

    Метод #2

    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть .

      Затем .

      Чтобы найти :

      1. Интеграл есть когда :

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. Интеграл есть когда :

      Таким образом, результат будет:

    Метод #3

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть .

          Затем .

          Чтобы найти :

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл есть когда :

        Таким образом, результат будет:

      Результат есть:

  2. Теперь упростить:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:


Ответ:

Ответ (Неопределённый) [src]
  /                       2    2           2       
 |                       x    x *log(3)   x *log(x)
 | x*log(3*x)*1 dx = C - -- + --------- + ---------
 |                       4        2           2    
/                                                  
$${{x^2\,\log \left(3\,x\right)}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}$$
Ответ [src]
  1   log(3)
- - + ------
  4     2   
$${{18\,\log 3-9}\over{36}}$$
=
=
  1   log(3)
- - + ------
  4     2   
$$- \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2}$$
Численный ответ [src]
0.299306144334055
0.299306144334055

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.