Интеграл x*cos(x+3) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x + 3 \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = x + 3$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\sin{\left(x + 3 \right)}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. пусть $u = x + 3$.

   Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

   $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \cos{\left(x + 3 \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \sin{\left(x + 3 \right)} + \cos{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \sin{\left(x + 3 \right)} + \cos{\left(x + 3 \right)}+ \mathrm{constant}$