Интеграл x*cos(pi*x) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(\pi x \right)}$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. пусть $u = \pi x$.

      Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}\, dx = \frac{\int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx}{\pi}$

   1. пусть $u = \pi x$.

      Тогда пусть $du = \pi dx$ и подставим $\frac{du}{\pi}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\pi x \sin{\left(\pi x \right)} + \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}}+ \mathrm{constant}$