Интеграл x*e^(x+1) d{x}

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $x e^{x + 1} = e x e^{x}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int e x e^{x}\, dx = e \int x e^{x}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   Таким образом, результат будет: $e \left(x e^{x} - e^{x}\right)$

3. Теперь упростить:

   $\left(x - 1\right) e^{x + 1}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x - 1\right) e^{x + 1}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\left(x - 1\right) e^{x + 1}+ \mathrm{constant}$