Интеграл x*2^x^2 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2^{x^{2}}$.

      Тогда пусть $du = 2 \cdot 2^{x^{2}} x \log{\left(2 \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2 \log{\left(2 \right)}}$:

      $\int \frac{1}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 \log{\left(2 \right)}}\, du = \frac{\int 1\, du}{2 \log{\left(2 \right)}}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2^{x^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

   Метод #2

   1. пусть $u = x^{2}$.

      Тогда пусть $du = 2 x dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{2^{u}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2^{u}}{2}\, du = \frac{\int 2^{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 2^{u}\, du = \frac{2^{u}}{\log{\left(2 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2^{u}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{2^{x^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2^{x^{2} - 1}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2^{x^{2} - 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2^{x^{2} - 1}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$