Интеграл x*atan(x/2) d{x}

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{x^{2}}{4 \left(\frac{x^{2}}{4} + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx}{4}$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{4} + 1} = 4 - \frac{16}{x^{2} + 4}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 4\, dx = 4 x$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{16}{x^{2} + 4}\right)\, dx = - 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$.

            Таким образом, результат будет: $- 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Результат есть: $4 x - 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2}}{\frac{x^{2}}{4} + 1} = \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx = 4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4} = 1 - \frac{4}{x^{2} + 4}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{4}{x^{2} + 4}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$.

               Таким образом, результат будет: $- 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

            Результат есть: $x - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

         Таким образом, результат будет: $4 x - 8 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

   Таким образом, результат будет: $x - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - x + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - x + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - x + 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$