Интеграл (x+1)^15 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = x + 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{15}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(x + 1\right)^{16}}{16}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(x + 1\right)^{15} = x^{15} + 15 x^{14} + 105 x^{13} + 455 x^{12} + 1365 x^{11} + 3003 x^{10} + 5005 x^{9} + 6435 x^{8} + 6435 x^{7} + 5005 x^{6} + 3003 x^{5} + 1365 x^{4} + 455 x^{3} + 105 x^{2} + 15 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15 x^{14}\, dx = 15 \int x^{14}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Таким образом, результат будет: $x^{15}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 105 x^{13}\, dx = 105 \int x^{13}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{15 x^{14}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 455 x^{12}\, dx = 455 \int x^{12}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Таким образом, результат будет: $35 x^{13}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1365 x^{11}\, dx = 1365 \int x^{11}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{455 x^{12}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3003 x^{10}\, dx = 3003 \int x^{10}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Таким образом, результат будет: $273 x^{11}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5005 x^{9}\, dx = 5005 \int x^{9}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1001 x^{10}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6435 x^{8}\, dx = 6435 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $715 x^{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6435 x^{7}\, dx = 6435 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{6435 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5005 x^{6}\, dx = 5005 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $715 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3003 x^{5}\, dx = 3003 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1001 x^{6}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1365 x^{4}\, dx = 1365 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $273 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 455 x^{3}\, dx = 455 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{455 x^{4}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 105 x^{2}\, dx = 105 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $35 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 15 x\, dx = 15 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{15 x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{x^{16}}{16} + x^{15} + \frac{15 x^{14}}{2} + 35 x^{13} + \frac{455 x^{12}}{4} + 273 x^{11} + \frac{1001 x^{10}}{2} + 715 x^{9} + \frac{6435 x^{8}}{8} + 715 x^{7} + \frac{1001 x^{6}}{2} + 273 x^{5} + \frac{455 x^{4}}{4} + 35 x^{3} + \frac{15 x^{2}}{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{16}}{16}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(x + 1\right)^{16}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(x + 1\right)^{16}}{16}+ \mathrm{constant}$