Интеграл (x+a)*(x+b) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(a + x\right) \left(b + x\right) = a b + x^{2} + x \left(a + b\right)$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int a b\, dx = a b x$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int x \left(a + b\right)\, dx = \left(a + b\right) \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2} \left(a + b\right)}{2}$

      Результат есть: $a b x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2} \left(a + b\right)}{2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(a + x\right) \left(b + x\right) = a b + a x + b x + x^{2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int a b\, dx = a b x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int a x\, dx = a \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{a x^{2}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int b x\, dx = b \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{b x^{2}}{2}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Результат есть: $a b x + \frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Теперь упростить:

   $x \left(a b + \frac{x^{2}}{3} + \frac{x \left(a + b\right)}{2}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(a b + \frac{x^{2}}{3} + \frac{x \left(a + b\right)}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x \left(a b + \frac{x^{2}}{3} + \frac{x \left(a + b\right)}{2}\right)+ \mathrm{constant}$