Интеграл (x-3)e^(3x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                
  /                
 |                 
 |           3*x   
 |  (x - 3)*e    dx
 |                 
/                  
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x - 3\right) e^{3 x}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x - 3\right) e^{3 x} = x e^{3 x} - 3 e^{3 x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{3 x}$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{1}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 x}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 e^{3 x}\right)\, dx = - 3 \int e^{3 x}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- e^{3 x}$
  Результат есть: $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{10 e^{3 x}}{9}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x - 3$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{3 x}}{3}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{3 x}}{3}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 x}}{9}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x - 3\right) e^{3 x} = x e^{3 x} - 3 e^{3 x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{3 x}}{3}\, dx = \frac{\int e^{3 x}\, dx}{3}$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{3 x}}{9}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 e^{3 x}\right)\, dx = - 3 \int e^{3 x}\, dx$
    1. пусть $u = 3 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Таким образом, результат будет: $- e^{3 x}$
  Результат есть: $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{10 e^{3 x}}{9}$
Теперь упростить:

$\frac{\left(3 x - 10\right) e^{3 x}}{9}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{\left(3 x - 10\right) e^{3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\left(3 x - 10\right) e^{3 x}}{9}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                      
 |                           3*x      3*x
 |          3*x          10*e      x*e   
 | (x - 3)*e    dx = C - ------- + ------
 |                          9        3   
/

$${{\left(3\,x-1\right)\,e^{3\,x}}\over{9}}-e^{3\,x}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

        3
10   7*e 
-- - ----
9     9

$${{10}\over{9}}-{{7\,e^3}\over{9}}$$

        3
10   7*e 
-- - ----
9     9

$$- \frac{7 e^{3}}{9} + \frac{10}{9}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-14.5109731624793

-14.5109731624793

График

$Интеграл (x-3)*e^(3*x) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x-3)e^(3x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Метод #3