Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x))^3*(cos(x))^2
Интеграл (e^x)*sin(2*x)
Интеграл e^x*dx/(1+e^(2*x))
Интеграл sqrt(sin(2*x))
Идентичные выражения
(x- шесть)*sin(x/ два)
(x минус 6) умножить на синус от (x делить на 2)
(x минус шесть) умножить на синус от (x делить на два)
(x-6)sin(x/2)
x-6sinx/2
(x-6)*sin(x разделить на 2)
(x-6)*sin(x/2)dx
Похожие выражения
(x-6)*sin(x)/2
(x+6)*sin(x/2)

Решение интегралов/ (x-6)*sin(x/2)

Интеграл (x-6)*sin(x/2) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                  
  /                  
 |                   
 |             /x\   
 |  (x - 6)*sin|-| dx
 |             \2/   
 |                   
/                    
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(x - 6\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x - 6\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  Результат есть: $- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = x - 6$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
    
    $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
  1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
    
    $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  Таким образом, результат будет: $- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(x - 6\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = x \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $2 \sin{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 6 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \frac{x}{2}$ .
      
      Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$ :
      
      $\int 4 \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 2 \sin{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- 2 \cos{\left(u \right)}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- 2 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
    Таким образом, результат будет: $12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  Результат есть: $- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 2 x \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 12 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                         
 |                                                          
 |            /x\               /x\         /x\          /x\
 | (x - 6)*sin|-| dx = C + 4*sin|-| + 12*cos|-| - 2*x*cos|-|
 |            \2/               \2/         \2/          \2/
 |                                                          
/

$$2\,\left(2\,\left(\sin \left({{x}\over{2}}\right)-{{\cos \left({{x }\over{2}}\right)\,x}\over{2}}\right)+6\,\cos \left({{x}\over{2}} \right)\right)$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

-12 + 4*sin(1/2) + 10*cos(1/2)

$$4\,\sin \left({{1}\over{2}}\right)+10\,\cos \left({{1}\over{2}} \right)-12$$

-12 + 4*sin(1/2) + 10*cos(1/2)

$$-12 + 4 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} + 10 \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-1.30647222667946

-1.30647222667946

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (x-6)*sin(x/2) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3