Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл tan(x/2)
Интеграл x^2+x+1
Интеграл (cos(x))^2*(sin(x))^2
Интеграл (e^(2*x))*cos(x)
Идентичные выражения
(восемь - три *x)*cos(пять *x)
(8 минус 3 умножить на x) умножить на косинус от (5 умножить на x)
(восемь минус три умножить на x) умножить на косинус от (пять умножить на x)
(8-3x)cos(5x)
8-3xcos5x
(8-3*x)*cos(5*x)dx
Похожие выражения
(8+3*x)*cos(5*x)

Решение интегралов/ (8-3*x)*cos(5*x)

Интеграл (8-3x)cos(5*x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (8 - 3*x)*cos(5*x) dx
 |                       
/                        
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(- 3 x + 8\right) \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(8 - 3 x\right) \cos{\left(5 x \right)} = - 3 x \cos{\left(5 x \right)} + 8 \cos{\left(5 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 x \cos{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \cos{\left(5 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 5 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{5}$
      
      пусть $u = 5 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 \cos{\left(5 x \right)}\, dx = 8 \int \cos{\left(5 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 5 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}$
  Результат есть: $- \frac{3 x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}$
Метод #2
1. Используем интегрирование по частям:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  пусть $u{\left(x \right)} = 8 - 3 x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ .
  
  Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -3$ .
  
  Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
  1. пусть $u = 5 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$
  Теперь решаем под-интеграл.
2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
  
  $\int \left(- \frac{3 \sin{\left(5 x \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{3 \int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{5}$
  1. пусть $u = 5 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
    
    $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
  Таким образом, результат будет: $\frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(8 - 3 x\right) \cos{\left(5 x \right)} = - 3 x \cos{\left(5 x \right)} + 8 \cos{\left(5 x \right)}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 3 x \cos{\left(5 x \right)}\right)\, dx = - 3 \int x \cos{\left(5 x \right)}\, dx$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
      
      пусть $u = 5 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}\, dx = \frac{\int \sin{\left(5 x \right)}\, dx}{5}$
      
      пусть $u = 5 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от синуса есть минус косинус:
      
      $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{5}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\cos{\left(5 x \right)}}{25}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{3 x \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 8 \cos{\left(5 x \right)}\, dx = 8 \int \cos{\left(5 x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = 5 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{25}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}$
      
      Интеграл от косинуса есть синус:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{5}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5}$
  Результат есть: $- \frac{3 x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{3 x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{3 x \sin{\left(5 x \right)}}{5} + \frac{8 \sin{\left(5 x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(5 x \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                                  
 |                             3*cos(5*x)   8*sin(5*x)   3*x*sin(5*x)
 | (8 - 3*x)*cos(5*x) dx = C - ---------- + ---------- - ------------
 |                                 25           5             5      
/

$${{8\,\sin \left(5\,x\right)-{{3\,\left(5\,x\,\sin \left(5\,x\right) +\cos \left(5\,x\right)\right)}\over{5}}}\over{5}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

3    3*cos(5)         
-- - -------- + sin(5)
25      25

$${{25\,\sin 5-3\,\cos 5}\over{25}}+{{3}\over{25}}$$

3    3*cos(5)         
-- - -------- + sin(5)
25      25

$$\sin{\left(5 \right)} - \frac{3 \cos{\left(5 \right)}}{25} + \frac{3}{25}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.872963736918726

-0.872963736918726

График

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (8-3x)cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (8-3*x)*cos(5*x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3

Интеграл (8-3x)cos(5*x) d{x}