Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x)/2-cos(x)/2)^2
Интеграл x^(3/4)
Интеграл sqrt(9)-x^2
Интеграл (3*x+5)/(x^2+6*x+10)
Идентичные выражения
((три *x^ два)+ два *x- три)/((x^ три)-x)
((3 умножить на x в квадрате ) плюс 2 умножить на x минус 3) делить на ((x в кубе ) минус x)
((три умножить на x в степени два) плюс два умножить на x минус три) делить на ((x в степени три) минус x)
((3*x2)+2*x-3)/((x3)-x)
3*x2+2*x-3/x3-x
((3*x²)+2*x-3)/((x³)-x)
((3*x в степени 2)+2*x-3)/((x в степени 3)-x)
((3x^2)+2x-3)/((x^3)-x)
((3x2)+2x-3)/((x3)-x)
3x2+2x-3/x3-x
3x^2+2x-3/x^3-x
((3*x^2)+2*x-3) разделить на ((x^3)-x)
((3*x^2)+2*x-3)/((x^3)-x)dx
Похожие выражения
((3*x^2)+2*x-3)/((x^3)+x)
(3*x^2+2*x-3)/(x^3-x)
((3*x^2)-2*x-3)/((x^3)-x)
((3*x^2)+2*x+3)/((x^3)-x)

Решение интегралов/ ((3*x^2)+2*x-3)/((x^3)-x)

Интеграл ((3x^2)+2x-3)/((x^3)-x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1                  
  /                  
 |                   
 |     2             
 |  3*x  + 2*x - 3   
 |  -------------- dx
 |       3           
 |      x  - x       
 |                   
/                    
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{x^{3} - x}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{x^{3} - x} = - \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$
    1. пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x + 1 \right)}$
  1. пусть $u = x - 1$ .
    
    Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\log{\left(x - 1 \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$
    1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
    Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x \right)}$
  Результат есть: $3 \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{3 x^{2} + 2 x - 3}{x^{3} - x} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - x} + \frac{2 x}{x^{3} - x} - \frac{3}{x^{3} - x}$
2. Интегрируем почленно:
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{3 x^{2}}{x^{3} - x}\, dx = 3 \int \frac{x^{2}}{x^{3} - x}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x^{2}}{x^{3} - x} = \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{2 x}{x^{3} - x}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{3} - x}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{x}{x^{3} - x} = - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
      
      Результат есть: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- \frac{3}{x^{3} - x}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{3} - x}\, dx$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x + 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x + 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$
      
      пусть $u = x - 1$ .
      
      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\log{\left(x - 1 \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$
      
      Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left(x \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(x \right)}$
      
      Результат есть: $- \log{\left(x \right)} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $3 \log{\left(x \right)} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{3 \log{\left(x + 1 \right)}}{2}$
  Результат есть: $3 \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$3 \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$3 \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                           
 |                                                            
 |    2                                                       
 | 3*x  + 2*x - 3                                             
 | -------------- dx = C - log(1 + x) + 3*log(x) + log(-1 + x)
 |      3                                                     
 |     x  - x                                                 
 |                                                            
/

$$-\log \left(x+1\right)+3\,\log x+\log \left(x-1\right)$$

Упростить

Ответ [src]

nan

$${\it \%a}$$

nan

$$\text{NaN}$$

Упростить

Численный ответ [src]

87.4872344352054

87.4872344352054

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл ((3x^2)+2x-3)/((x^3)-x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл ((3*x^2)+2*x-3)/((x^3)-x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Интеграл ((3x^2)+2x-3)/((x^3)-x) d{x}