Интеграл (3*x+4)*cos(x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(3 x + 4\right) \cos{\left(x \right)} = 3 x \cos{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(x \right)} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $3 x \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 4 \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $4 \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $3 x \sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = 3 x + 4$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $3 x \sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$3 x \sin{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$