Интеграл tan(3*x)*dx d{x}

1. пусть $u = 3 x$.

   Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

   $\int \frac{\tan{\left(u \right)}}{9}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{\tan{\left(u \right)}}{3}\, du = \frac{\int \tan{\left(u \right)}\, du}{3}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}$

      2. пусть $u = \cos{\left(u \right)}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left(u \right)} du$ и подставим $- du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(u \right)} \right)}}{3}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$