Интеграл (sin(x)^(5))/(cos(x)) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |   cos(x)   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Перепишите подынтегральное выражение:

$\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{4 u}\, du$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{u}\, du}{2}$
    1. Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{- u^{2} + 2 u - 1}{u} = - u + 2 - \frac{1}{u}$
    2. Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{2}}{2} + 2 u - \log{\left(u \right)}$
    Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4} + u - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  
  Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{- u^{4} + 2 u^{2} - 1}{u}\, du$
  1. пусть $u = u^{2}$ .
    
    Тогда пусть $du = 2 u du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{4 u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{- u^{2} + 2 u - 1}{u}\, du}{2}$
      
      Перепишите подынтегральное выражение:
      
      $\frac{- u^{2} + 2 u - 1}{u} = - u + 2 - \frac{1}{u}$
      
      Интегрируем почленно:
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 2\, du = 2 u$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Результат есть: $- \frac{u^{2}}{2} + 2 u - \log{\left(u \right)}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{4} + u - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{u^{4}}{4} + u^{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int u^{3}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{4}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
    1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\cos^{2}{\left(x \right)}$
  1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$ :
    
    $\int \frac{1}{u}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Таким образом, результат будет: $- \log{\left(u \right)}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
  Результат есть: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{4}{\left(x \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                 
 |                                                  
 |    5                          /   2   \      4   
 | sin (x)             2      log\cos (x)/   cos (x)
 | ------- dx = C + cos (x) - ------------ - -------
 |  cos(x)                         2            4   
 |                                                  
/

$$-{{\log \left(\sin ^2x-1\right)}\over{2}}-{{\sin ^4x+2\,\sin ^2x }\over{4}}$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4

$$-{{\log \left(1-\sin ^21\right)}\over{2}}-{{\sin ^41+2\,\sin ^21 }\over{4}}$$

                                 4   
  3      2                    cos (1)
- - + cos (1) - log(cos(1)) - -------
  4                              4

$$- \frac{3}{4} - \frac{\cos^{4}{\left(1 \right)}}{4} + \cos^{2}{\left(1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)}$$

Упростить

Численный ответ [src]

0.136247769832824

0.136247769832824

График

$Интеграл (sin(x)^(5))/(cos(x)) d{x}$

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (sin(x)^(5))/(cos(x)) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #3