Интеграл sin(x)*sin(2*x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} = 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$